Introduction à la méthode des éléments finis

Soit à résoudre le problème (

où $f$ et $c$ sont des fonctions données continues sur $[a,b]$.

On supposera de plus que la fonction $c$ est strictement positive sur $[a,b]$.

Un tel problème est appelé problème aux limites.

En faisant le produit scalaire $L^2(]a,b[)$ de l’équation différentielle avec une fonction-test $v \in {\cal D}(]a,b[)$ (c’est-à-dire en intégrant sur $[a,b]$), on a :

soit, en intégrant par parties le premier terme :

car $v(a)=v(b)=0$ puisque $v\in{\cal D}(]a,b[)$.

Chaque terme de cette équation a en fait un sens dès lors que $v\in H^1_0(]a,b[)$.

De plus, ${\cal D}(]a,b[)$ étant dense dans $H^1_0(]a,b[)$ (§[sec:H10]), cette équation est vérifiée pour tout $v\in H^1_0(]a,b[)$.

On peut donc définir le nouveau problème :

Ce problème est la formulation variationnelle (ou formulation faible) du problème $({\cal P})$. Toute solution de $({\cal Q})$ est appelée solution faible.

Il est immédiat que toute solution forte de $({\cal P})$ est aussi une solution faible.

Soit $\Omega$ ouvert borné de $\RR^n$.

On veut résoudre le problème

Une solution classique de ce problème est une fonction de ${\cal C}^2(\bar{\Omega})$ vérifiant ([eq:modele-2D]) en tout point de $\Omega$.

Toute solution classique vérifie donc :

soit par intégration par parties :

puisque $\partial_n u = 0$ sur $\partial\Omega$.

Or, $\overline{{\cal C}^1(\bar{\Omega})} = H^1(\Omega)$.

On peut donc définir le nouveau problème :

C’est la formulation variationnelle de $({\cal P})$.

On voit aussi que ce problème est défini dès lors que $f\in L^2(\Omega)$.

On va introduire ici un outil important pour assurer l’existence et l’unicité de solutions à la formulation variationnelle de problèmes aux limites de type elliptique.

Soit $V$ un espace de Hilbert.

En reprenant l’exemple 1-D précédent, on peut poser :

et

$a$ ainsi définie est une forme bilinéaire symétrique continue coercive sur $H^1_0(a,b) \times H^1_0(a,b)$, et $l$ est une forme linéaire continue sur $H^1_0(a,b)$. Donc le problème ([eq:FV]) admet une solution unique d’après le théorème de Lax-Milgram. Cherchons maintenant à interpréter cette solution $u$ de ([eq:FV]). Prenons $v=\varphi \in {\cal D}(]a,b[)$. Alors

soit, en intégrant par parties :

c’est-à-dire

${\cal D}(]a,b[)$ étant dense dans $L^2(]a,b[)$, on a : $-u"+cu=f$ dans $L^2(]a,b[)$.

$u$ étant dans $L^2(]a,b[)$, et $f$ et $c$ étant dans ${\cal C}^0([a,b])$, donc également dans $L^2(]a,b[)$, on en déduit que $u"=cu-f$ est aussi dans $L^2(]a,b[)$.

Puisque $u$ est dans $H^1_0(]a,b[)$ et que $u"$ est dans $L^2(]a,b[)$, on en déduit que $u$ est dans $H^2(]a,b[)$.

Donc $u$ est dans ${\cal C}^1([a,b])$ (§[sec:sobolev]).

De ce fait, $cu-f$, c’est-à-dire $u"$, est dans ${\cal C}^0([a,b])$.

Donc $u'$ est dans ${\cal C}^1([a,b])$, donc $u$ est dans ${\cal C}^2([a,b])$.

La solution faible $u$ est donc aussi solution forte du problème de départ.

En résumé :

L’intérêt de cette démarche est double :

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\RR^n$, de frontière $\partial\Omega$ assez régulière. Soient des fonctions $\alpha_{ij}$ ($1\le i,j \le n$) dans ${\cal C}^1(\bar{\Omega})$ et $\beta$ dans ${\cal C}^0(\bar{\Omega})$.

On considère le problème :

où $\Gamma_0$ et $\Gamma_1$ forment une partition de $\partial\Omega$ ($\Gamma_0 \cap\Gamma_1 = \emptyset$ et $\Gamma_0 \cup\Gamma_1 = \partial\Omega$).

Une solution classique de $({\cal P})$, sous l’hypothèse que $f\in{\cal C}^0(\bar{\Omega})$ et $g\in{\cal C}^0(\Gamma_1)$, sera une fonction de ${\cal C}^2(\bar{\Omega})$ vérifiant l’équation en chaque point de $\Omega$. La formulation variationnelle de $({\cal P})$ est obtenue par intégration par parties.

Elle s’écrit :

avec $\ds{ V = \left\{ v \in H^1(\Omega) \; , \; v=0 \hbox{ sur }\Gamma_0 \right\} }$. Cette formulation est en fait définie dès lors que $\beta$ et les $\alpha_{ij}$ sont dans $L^\infty(\Omega)$, que $f$ est dans $L^2(\Omega)$ et que $g$ est dans $L^2(\Gamma_1)$. Posons

Il est immédiat que $a$ est une forme bilinéaire continue et $l$ une forme linéaire continue sur $V$.

Si l’EDP de départ [eq:edp-elliptique] vérifie les deux hypothèses d’ellipticité :

alors $a$ est coercive :

Par application du théorème de Lax-Milgram, on a donc existence et unicité d’une solution à la formulation variationnelle $({\cal Q})$ :

Soit $\Omega$ un domaine ouvert de $\RR^n$ ($n=1,2$ ou 3 en pratique), de frontière $\partial\Omega$, et sur lequel on cherche à résoudre une équation aux dérivées partielles, munie de conditions aux limites.

En écrivant la formulation variationnelle, on obtient un problème de la forme

où $V$ est un espace de Hilbert. Sous réserve que l’équation de départ ait de bonnes propriétés, c’est-à-dire par exemple qu’on soit dans les hypothèses du théorème de Lax-Milgram, $({\cal Q})$ admet une solution unique $u$.

Pour obtenir une approximation numérique de $u$, on va maintenant remplacer l’espace $V$ qui est en général de dimension infinie par un sous-espace $V_h$ de dimension finie, et on va chercher à résoudre le problème approché

$V_h$ étant de dimension finie, c’est un fermé de $V$. $V$ étant un espace de Hilbert, $V_h$ l’est donc aussi. D’où l’existence et l’unicité de $u_h$, à nouveau par exemple d’après le théorème de Lax-Milgram. L’espace $V_h$ sera en pratique construit à partir d’un maillage du domaine $\Omega$, l’indice $h$ désignant la ``taille typique'' des mailles.

Lorsque l’on construit des maillages de plus en plus fins, la suite de sous-espaces $(V_h)_h$ formera une approximation interne de $V$, c’est-à-dire que, pour tout élément $\varphi$ de $V$, il existe une suite de $\varphi_h\in V_h$ telle que $\|\varphi-\varphi_h\|\longrightarrow 0$ quand $h\longrightarrow 0$.

On a $a(u,v)=l(v), \forall v\in V$, donc en particulier $a(u,v_h)=l(v_h), \forall v_h\in V_h$, car $V_h\subset V$.

Par ailleurs, $a(u_h,v_h)=l(v_h), \forall v_h\in V_h$.

Par différence, on en déduit que

On a :

Or $v_h-u_h \in V_h$. Donc $a(u-u_h,v_h-u_h)=0$ d’après (Orthogonalité de Galerkin).

On a donc :

$a$ étant coercive, il existe $\alpha > 0$ tel que $a(u-u_h,u-u_h) \ge \alpha \|u-u_h\|^2$, où $\|.\|$ est une norme sur $V$.

Par ailleurs, $a$ étant continue, il existe $M > 0$ tel que $a(u-u_h,u-v_h)\le M \|u-u_h\| \, \|u-v_h\|$.

En réinjectant ces deux inégalités de part et d’autre de [eq:estim1] et en simplifiant par $\|u-u_h\|$ on obtient

c’est-à-dire

où $d$ est la distance induite par $\|.\|$.

Cette majoration est appelée lemme de Céa. Elle ramène l’étude de l’erreur d’approximation $u-u_h$ à l’étude de l’erreur d’interpolation $d(u,V_h)$.

La première étape consiste à construire un maillage de $\Omega = ]a,b[$ en définissant une subdivision (pas nécessairement régulière) $a=x_0 < x_1 < \ldots < x_N < x_{N+1}=b$.

Le maillage est donc une collection indexée de $N_{ma}$($=N$) intervalles

et on a

On note $h_i = x_{i+1}-x_i$ et $h = \max_{1\leq i \leq \Nma} h_i$.

Le maillage est dit uniforme si $h_i=h$ pour tout $i=\{1,...,\Nma\}$. Enfin on note $\calTh=\{I_i\}_{i=\{1,...,\Nma\}}$, $h$ représentant la finesse globale du maillage.

L’étape suivante est de choisir les fonctions de forme ou fonctions de base sur chaque maillage.

On choisit les fonctions de $V_h$ telle que leur restriction sur chaque maillage soit un espace polynomial.

On pose alors

$W_h$ est un espace de dimension finie égale à $(k+1)*\Nma$ mais il n’est pas inclus dans $H^1_0(\Omega)$ et ne peut donc pas être utilisé pour l’approximation du problème (<<[eq:FV]>>). En effet les fonctions de $w_h \in W_h$ peuvent être discontinues aux interfaces entre les maillages et un résultat d’analyse fonctionnelle montre que dans ces conditions $w_h \ni H^1(\Omega)$. Par ailleurs les fonctions de $W_h$ ne sont pas nécessairement nulles au bord de $\Omega$.

On pose donc

en d’autres termes, en dimension, on a

Le problème approché sur $V_h$ est :

On s’intéresse à présent à des exemples concrets d’espaces d’approximations dans les deux sections suivantes Element fini de Lagrange et Element fini de Lagrange.

On introduit les espaces vectoriels suivants:

et

Les éléments de ces espaces sont des fonctions continues et affines par morceaux. Ils sont dérivables par morceaux sur chaque maille et ils sont continus aux interfaces entre les mailles.

On a le résultat d’analyse fonctionnelle suivant:

On introduit la famille de fonctions $\{\varphi_1,...,\varphi_\Nso\}$ que l’on définit sur chaque maille de la manière suivante, pour tout $i \in \{2,...,\Nso-1\}$,

et

où $\delta_{ij}$ désigne le symbole de Kronecker tel que $\delta_{ij} = 1$ si $i=j$ et $\delta_{ij}=0$ si $i \neq j$.

Les fonctions $\varphi_i$ sont appelées fonctions chapeau du fait de leur graphe, voir figure [fig:chapeau].

On introduit l’opérateur d’interpolation suivant:

Pour toute fonction $v \in \Ck{0}(\bar{\Omega})$, $\Ich{1}{v}$ est la seule fonction continue affine par morceaux prenant les mêmes valeurs que $v$ aux sommets $x_i, i=1,...,\Nso$.

$\Ich{1}{v}$ est appelée l’interpolé de Lagrange de $v$ de degré $1$.

On dit que l’erreur d’interpolation est d’ordre 2 en norme $L^2$ et d’ordre 1 en semi-norme $H^1$ et donc en norme $H^1$.

On introduit les espaces vectoriels suivants: $\label{eq:9}$

et

On introduit l’opérateur d’interpolation suivant:

Pour toute fonction $v \in \Ck{0}(\bar{\Omega})$, $\Ich{k}{v}$ est la seule fonction continue polynomial de degré $k$ par morceaux prenant les mêmes valeurs que $v$ aux sommets $x_i, i=1,...,\Nso$. $\Ich{k}{v}$ est appelée l’interpolé de Lagrange de $v$ de degré $k$.

Le résultat suivant permet d’estimer la précision de l’opérateur d’interpolation,

Nous nous intéressons à présent à l’analyse de la convergence de $u_h$ du problème approché de [eq:11] vers la solution $u$ du problème exact [eq:F] lorsque $V_h=\Pcho{1}$ ou plus généralement $V_h=\Pcho{k},\; k\geq 1$.